Satz des Pythagoras einfach erklärt

Hier erklären wir dir den Satz des Pythagoras verständlich mit Beispielen und einfachen Aufgaben.

Viele Schüler lernen den Satz des Pythagoras in der Mittelstufe kennen. Am Anfang wirkt die Formel oft ungewohnt, weil plötzlich mit Quadraten und Wurzeln gerechnet wird.

Dabei ist die Grundidee eigentlich gut verständlich: In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es einen festen Zusammenhang zwischen den Seiten.

Wenn du diesen Zusammenhang einmal verstanden hast, lassen sich viele Aufgaben deutlich leichter lösen.

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Was ist der Satz des Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras beschreibt den Zusammenhang zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

Er lautet:

a² + b² = c² 

Dabei sind a und b die Katheten und c die Hypotenuse, also die längste Seite im Dreieck.

Mit dieser Formel kannst du fehlende Seitenlängen einfach berechnen.

Satz des Pythagoras einfach erklärt (Video)

Wenn du dir den Satz des Pythagoras lieber Schritt für Schritt erklären lassen willst, hilft dir dieses Video. Dort siehst du anschaulich, wie die Formel angewendet wird.

Dieses Video ist Teil unseres YouTube-Kanals mit vielen weiteren verständlichen Mathe-Erklärungen. Zum Kanal .

Wofür braucht man den Satz des Pythagoras?

Der Satz des Pythagoras wird in der Mathematik häufig verwendet, um Längen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen. In der Schule kommt er zum Beispiel bei Aufgaben zu Dreiecken, Abständen oder geometrischen Figuren vor.

Auch im Alltag taucht der Satz des Pythagoras auf. Zum Beispiel kann man damit die Länger einer Leiter berechnen, die an einer Wand steht, oder den direkten Abstand zwischen zwei Punkten bestimmen.

Der Satz des Pythagoras ist außerdem eine wichtige Grundlage für viele weitere Themen in der Mathematik, zum Beispiel in der Geometrie oder später in der Oberstufe.

Was ist der Unterschied zwischen Hypotenuse und Katheten?

In einem rechtwinkeligen Dreieck gibt es drei Seiten: zwei Katheten und eine Hypotenuse.

Die Katheten sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen. Sie werden meist mit a und b bezeichnet.

Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist immer die längste Seite im Dreieck und wird mit c bezeichnet.

Für den Satz des Pythagoras gilt deshalb: Die Quadrate der Katheten ergeben zusammen das Quadrat der Hypotenuse.

Beispiel zum Satz des Pythagoras

Beispiel

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit:

  • a = 3 cm
  • b = 4 cm

Gesucht ist die Hypotenuse c (die längste Seite im Dreieck).

Rechnung:

a² + b² = c²

3² + 4² = 9 + 16 = 25

c = √25

⇒ Ergebnis: c = 5 cm

Die Hypotenuse ist also 5 cm lang.

Kleiner Tipp:
Wenn die Hypotenuse gegeben ist und du eine Kathete suchst, musst du die Formel umstellen und am Ende die Wurzel ziehen.

So gehst du beim Satz des Pythagoras vor

  1. Überlege, welche Seite gesucht ist
  2. Setze die bekannten Werte in die Formel ein
  3. Berechne die Quadrate
  4. Addiere oder subtrahiere
  5. Ziehe die Wurzel

Mit diesem Ablauf kannst du jede Aufgabe sicher lösen.

Merke

Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt gegenüber dem rechten Winkel.

Wenn dir der Satz des Pythagoras noch unklar ist, hilft gezieltes Training.

In unseren Mathe-Trainings für die Klassen 5 bis 10 erklären wir dir den Satz des Pythagoras Schritt für Schritt
mit verständlichen Beispielen, Übungen und klaren Erklärungen.

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Übung

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit:

a = 6 cm und b = 8 cm

Berechne die Hypotenuse c.

Lösung anzeigen

a² + b² = c²

6² + 8² = 36 + 64 = 100

c = √100

⇒ Ergebnis: c = 10 cm

Die Hypotenuse ist also 10 cm lang.

Typische Fehler beim Satz des Pythagoras

  • falsche Seite als Hypotenuse wählen
  • Wurzel vergessen
  • Rechenfehler bei Quadraten
  • Formel falsch anwenden
Gut zu wissen

Häufige Fragen zum Satz des Pythagoras

Hier findest du kurze Antworten auf die wichtigsten Fragen rund um den Satz des Pythagoras, die Hypotenuse und die Berechnung fehlender Seiten.

Der Satz des Pythagoras beschreibt den Zusammenhang zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Summe der Quadrate der beiden Katheten ist genauso groß wie das Quadrat der Hypotenuse.

a² + b² = c²

Mit dieser Regel kannst du fehlende Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen.

Den Satz des Pythagoras kannst du nur bei rechtwinkligen Dreiecken anwenden. Das bedeutet, dass einer der Winkel genau 90 Grad groß sein muss.

Nur dann gilt die Formel a² + b² = c².

Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt immer gegenüber dem rechten Winkel.

Beim Satz des Pythagoras wird die Hypotenuse normalerweise mit c bezeichnet. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten und werden meist mit a und b bezeichnet.

Ein rechtwinkliges Dreieck erkennst du daran, dass einer seiner Winkel genau 90 Grad groß ist. In Zeichnungen wird der rechte Winkel häufig durch ein kleines Quadrat gekennzeichnet.

Die Seite gegenüber diesem rechten Winkel ist die Hypotenuse und gleichzeitig die längste Seite des Dreiecks.

Welche Formel du brauchst, hängt davon ab, welche Seite gesucht ist.

Für die Hypotenuse gilt: c = √(a² + b²).

Möchtest du eine Kathete berechnen, gilt zum Beispiel: a = √(c² − b²).

Wichtig ist, dass du bei der Berechnung der Seitenlänge am Ende die Wurzel ziehst.

Satz des Pythagoras kurz zusammengefasst

  • gilt nur im rechtwinkeligen Dreieck
  • Formel: a² + b² = c² 
  • c ist die Hypotenuse
  • mit der Formel lassen sich fehlende Seiten berechnen

Wenn du diese Grundidee verstanden hast, lassen sich viele Aufgaben zum Satz des Pythagoras leichter lösen.